Question

Решить дифференциальное уравнение
xy'+2xy-1=0

Answer 1

Разделим обе части уравнения на x
$y'+2y= frac{1}{x}$
Это дифференциальное уравнение первого порядка, линейное и неоднородное.
Пусть $y=uv$ тогда $y'=u'v+uv'$
$u(2v+v') + u'v= frac{1}{x}$

1) предполагаем что первое слагаемое равен нулю
$2v+v'=0$
А это уравнение с разделяющимися переменными, то есть, проинтегрируем обе части уравнения, получим
$v=e^{-2x}$

2) $displaystyle u'v=frac{1}{x}\ u'e^{-2x}=frac{1}{x}\ \ u= intlimits {frac{e^{2x}}{x}} , dx +C$

Обратная замена

$displaystyle y=uv=e^{-2x}bigg(intlimits {frac{e^{2x}}{x}} , dx +Cbigg)$