Question

Найдите наименьшее значение функции на [1;4]
y=x^3-3x^2+2
Помогите решить

Answer 1

Найдём производную функции:
$y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$
Найдём экстремумы функции:
$3x^2 - 6x = 0 \ x^2 - 2x = 0 \ x(x - 2) = 0 \ x = 0 \ x = 2$
0 не входит в заданный промежуток.
Значит, наименьшее значение функция будет принимать в точке с абциссой 2 (2 - точка минимума). 
Чтобы убедиться в том, что 2 - точка минимума, найдём промежутки монотонности функции:
$3x^2 - 6x geq 0 \ x(x - 2) geq 0$
Функция возрастает на (∞; 0] и [2;+∞) и убывает на [0; 2]. Как известно, что та точка, в которой убывание сменяется возрастанием, называется точкой минимума функции.
$y(2) = 2^3 - 3 cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$
Ответ: -2.