Question

Как доказать, что сумма медиан треугольника больше 3/4 суммы сторон треугольника?

Answer 1

Точка пересечения медиан делит их (сами медианы) в пропорции 2/1, то есть кусок от вершины до точки пересечения равен 2/3 от медианы. Если записать три неравенства треугольника для трех треугольников, у которых две стороны - это вот такие куски медиан, а третья сторона - это сторона исходного треугольника, то получится
(2/3)*m1 + (2/3)*m2 > a;
(2/3)*m1 + (2/3)*m3 > b;
(2/3)*m2 + (2/3)*m3 > c;
Если все это сложить, то получится
4/3*(m1 + m2 + m3) > (a + b + c);
или
(m1 + m2 + m3) > (3/4)*(a + b + c);
ЧТД