Question

Тема: «Декартовы координаты и векторы в пространстве»

1. Установите, будет ли четырёхугольник ABCD параллелограммом.
Если «да», то будет ли ромбом?
А(6;7;8); В(8;2;6); С(4;3;2); D(2;8;4).

2. Определите Cos B, где В-угол треугольника АВС,
если даны:
А(3;-2;1); В(-1;0;3); С(1;3;-2)


3. Какие из этих точек А(0;1;-3);
лежат: В(-1;0;0);
1) в плоскости ХY; С(0;8;0);
2) в плоскости YZ; D(-3;-3;-3);
3) в плоскости ХZ; L(0;0;4);
4) на оси ОХ ; M(-7;0;6);
5) на оси ОY; N(-3;1;-1);
6) на оси ОZ? K(5;5;0).

4. Точка М отстоит от плоскости на расстояние а.
Найти длины наклонных, проведенных из этой точки
под углом к плоскости: 45 °.

Answer 1

$1); ; A(6,7,8); ,; B(8,2,6); ,; C(4,3,2); ,; D(2,8,4)\\overline {AB}=(2,-5,-2); ,; ; overline {CD}=(-2,5,2); ; Rightarrow \\overline {AB}parallel overline {CD},; tak; kak; ; frac{2}{-2}= frac{-5}{5} =frac{-2}{2} ; ; (=-1)\\|overli{AB}|=overli|CD|}=sqrt{4+25+4}=sqrt{33}; ; Rightarrow$

ABCD -  параллелограмм
Если длины всех сторон параллелограмма равны, то этот параллелограмм - ромб. Вычислим длины другой пары сторон:

$overline {BC}=(-2,1,-4); ,; ; |overline {BC}|=sqrt{4+1+16}=sqrt{21}\\overline {AD}=(-4,1,-2); ,; ; |overline {AD}|=sqrt{16+1+4}=sqrt{21}$

Параллелограмм ABCD  не является ромбом.

$2); ; A(3,-2,1); ,; B(-1,0,3); ,; C(1,3,-2)\\overline {BA}=(4,-2,-2); ,; ; overline {BC}=(2,3,-5)\\|overline {BA}|=sqrt{16+4+4}=sqrt{24}=2sqrt6\\|overli{BC}|=sqrt{4+9+25}=sqrt{38}\\cosB= frac{4cdot 2-2cdot 3+2cdot 5}{2sqrt6cdot sqrt{38}} = frac{12}{2sqrt{2cdot 3}cdot sqrt{2cdot 19}} = frac{12}{4sqrt{3cdot 19}} = frac{3}{sqrt{3cdot 19}} =sqrt{ frac{3}{19}}$

3)   В пл. ХОУ  (z=0) лежат точки  С(0,8,0) , В(-1,0,0) , К(5,5,0) .
   В пл. УОZ  (x=0) лежат точки L(0,0,4) , A(0,1,-3) .
   В пл.XOZ  (y=0) лежат точки B(-1,0,0) , L(0,0,4) , M(-7,0,6) .
   На оси ОХ  (y=0, z=0) лежит точка В(-1,0,0) .
   На оси ОУ  (x=0, z=0) лежит точка С(0,8,0) .
   На оси OZ  (x=0, y=0) лежит точка L(0,0,4) .

4)   Точка М отстоит от плоскости на расстояние, равное а, то есть
     длина перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость ,
     равна а :  МН=а . ММ₁ - наклонная .
    ∠НММ₁=∠ММ₁Н=45°   ⇒   МН=М₁Н=а   ⇒
    ММ₁=√(а²+а²)=а√2 .