Question

Помогите пожалуйста найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a;b] y=3x/(x^2+1) [0;5]

Answer 1

$y = dfrac{3x}{x^2 + 1} \ \ u = 3x; v = x^2 + 1 \ \ y' = (dfrac{3x}{x^2 + 1})' = dfrac{u'v - v'u}{v^2} = dfrac{(3x)'(x^2 + 1) - (x^2 + 1)'3x}{(x^2 + 1)^2} = \ \ dfrac{3(x^2 + 1) - 2x cdot 3x}{(x^2 + 1)^2} = dfrac{3x^2 + 3 - 6x^2 }{(x^2 + 1)^2} = - dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2}$
Найдём промежутки монотонности функции:
$- dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} geq 0 \ \ dfrac{3(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} leq 0 \ \ dfrac{3(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2} leq 0 \ \ dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2} leq 0$
Функция на [-1;1] возрастает. Наибольшее значение она будет принимать в точке с абциссой x = 1, т.к. это точка максимума функции.
$y_{max} = y(1) = dfrac{3}{1 + 1} = 1,5$
На отрезке [0; +∞) функция принимает положительные значения.
Найдем предел данной функции при x -> ∞
$lim_{x to infty} dfrac{3x}{x^2 + 1} = lim_{x to infty} dfrac{ dfrac{3x}{x^2} }{ dfrac{x^2}{x^2} + dfrac{1}{x^2} } = lim_{x to infty} frac{ dfrac{3}{x} }{1 + dfrac{1}{x^2} } = dfrac{0}{0 + 1} = 0$
Значит, ось Ox - асимптота функции.
Наименьшее значение на заданном отрезке функция будет принимать при x = 0:
$y_{min} = y(0) = dfrac{3 cdot 0}{1 + 0 } = 0$
Ответ: $y_{min} = 0; y_{max} = 1,5.$