Question

Найдите рациональные корни уравнения.$2 x^{3} +7 x^{2} +5 x +1=0$

Answer 1

Положим, что a,b,c есть корни данного уравнения тогда:
$(x-a)cdot(x-b)cdot(x-c)=(x^2-x(a+b)+ab)cdot(x-c)=x^3-x^2(a+b)+xab-x^2c+xc(a+b)-abc=x^3-x^2(a+b+c)+x(ca+cb+ab)-abc$
Получаем такую зависимость:
$x^3-x^2cdot(a+b+c)+xcdot(ca+bc+ab)-abc$
Приведем данное уравнение к такому виду, т.е сделаем его приведенным:
$2x^3+7x^2+5x+1=x^3+frac{7}{2}x^2+frac{5}{2}x+frac{1}{2}$
Заметим, что $x=-frac{1}{2}$  является одним из корней уравнения:
$-2cdotfrac{1}{8}+7cdotfrac{1}{4}-frac{5}{2}+1=frac{3}{2}-frac{3}{2}$
Составляем систему:
$-(a+b+c)=frac{7}{2}$
$ca+bc+ab=frac{5}{2}$
$abc=frac{1}{2}$
Так как один из корней найдем, положим что $b=-frac{1}{2}$
Получаем следующую систему:
$a+c=-frac{7}{2}+frac{1}{2}=-6$
$ca-frac{c}{2}-frac{a}{2} = frac{5}{2}$
$ac=-1$
Для нахождения двух неизвестных используем систему из двух уравнений:
$a+c=-6$
$ac=-1$
Заметим, что данная система не имеет рациональных решений, ее решения имеют вид:
$a=-3pmsqtr{10}$
$c=-3pmsqrt{10}$
Для экономии места, вычисления опущены.
Получаем, что данное уравнение имеет только один рациональный корень:
$-frac{1}{2}$
Ответ: $-frac{1}{2}$