Question

Вычислите sin⁡2α, если sin⁡α-cos⁡α=1/5

Answer 1

sin a - cosa = 1/5,  
знаем, что   cos a =√(1-sin²a), подставим это в исходное выражение
sina - √(1-sin²a) =1/5
sin a -1/5 = √(1-sin²a)
возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня
(sin a -1/5)² = (√1-sin²a)²
sin² a -2/5sina +1/25  = 1-sin²a
sin² a -2/5sina +1/25  - 1+sin²a =0
2sin² a -2/5sina -24/25  = 0, разделим на 2
sin² a -1/5sina -12/25  = 0
пусть sin a = x, тогда
x² -1/5x -12/25 =0
D =1/25 +48/25 =49/25
x₁ = -0.6
x₂ = 0,8
сделаем обратную замену
sina = -0.6 , тогда cos a=√1-0.36=0.8 , но  -0,6-0,8 ≠1/5 , значит не подходит
sin a=0.8 , тогда cosa =√1-0.64 = 0.6  и 0,8-0,6 = 0,2 = 1/5
тогда       sin 2a = 2sina cosa = 2*0,6*0,8 = 0,96