Question

Найти частное  решение
дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:




$y'' + 4y' = e ^ -4x$

$y(0) = 0$
$y'(0) = 0$

Answer 1

Характеристическое уравнение однородного ДУ 
$lambda^2+4lambda=0 \ lambdainlbrace0;-4rbrace$
откуда общее решение однородного ДУ
$y=c_1+c_2e^{-4x}$

Ищем частное решение неоднородного ДУ в виде
$y=alpha xe^{-4x}\y'=-4alpha xe^{-4x}+alpha e^{-4x} \ y''=16alpha xe^{-4x}-8alpha e^{-4x}$

$y''+4y'=16alpha xe^{-4x}-8alpha e^{-4x}-16alpha xe^{-4x}+4alpha e^{-4x}=-4alpha e^{-4x}$
$-4alpha e^{-4x}=e^{-4x}\ alpha=-frac14$
Частное решение неоднородного уравнения 
$y=-frac14x e^{-4x}$

Общее решение неоднородного ДУ = общее решение однородного + частное решение неоднородного
$y=c_1+c_2e^{-4x}-frac14xe^{-4x}\ y(0)=c_1+c_2=0\ y'(0)=-4c_2-frac14=0\ c_2=-frac1{16};quad c_1=frac1{16}\ boxed{y=frac1{16}-frac1{16}e^{-4x}-frac14xe^{-4x}}$