Question

Найдите радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника с суммой катетов 23см если радиус вписанной окружности равен 3 см.

Answer 1

Пусть х и у катеты а z - гипотенуза, исходя из условия получаем:
$xy=pr=3(x+y+z)\x+y=23$
Выражаем произведение катетов:
$xy=3(23+z)=69+3z$
Находим гипотенузу:
$x+y=23\(x+y)^2=23^2\x^2+2xy+y^2=23^2\x^2+y^2=z^2\z^2+2xy=23^2\xy=69+3z\z^2+6z+6cdot 23 - 23^2=0\z^2+6z-391=0\z=17\z=-23$
вариант -23 не подходит так как:
$xy=69+3z=69-69=0$
Поэтому считаем что гипотенуза равна 17,
находим произведение катетов:
$xy=69+3cdot 17= 120$
Теперь воспользуемся следующей формулой:
$cfrac{xy}{2}=r^2+2Rr$
$cfrac{120}{2}=9+6R\60-9=6R\R=cfrac{51}{6}=cfrac{17}{2}$
Ответ: $cfrac{17}{2}$