Question

Докажите неравенство:
$x^{4}+ y^{4}+8 geq 8xy$

Answer 1

$x^{4}+ y^{4}+8 geq 8xy \ x^4+y^4+8-8xy=x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2y^2-8xy+8= \ =(x^2+y^2)^2-2(x^2y^2+4xy-4)= \ =(x^2+y^2)^2-2(x^2y^2+4xy+4-4-4)= \ =(x^2+y^2)^2-2((xy+2)^2-8)= \ =(x^2+y^2)^2-2(xy+2)^2+16 > 0$
Так как последнее выражение верно, то и исходное неравенство верно.