Question

как доказать формулу куба разности?

Answer 1

При любых значениях a и b верно равенство    

                          (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 .               (1)    


          Доказательство.    

                (a+b) 3     =     (a+b)(a 2+2ab+b 2)   =  

                =   a 3+2a 2b+ab 2   +   a 2b+2ab 2+b 3   =    

                =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3    

        Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,  
 то оно является тождеством. Это тождество называется  
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b  
подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z , 
то опять получится тождество. 

                (5y 3+2z) 3   =   125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 .       (2)    

      Поэтому формула куба суммы читается так:    

    куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения  
    плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,  
    плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,  
    плюс куб второго выражения.  


          При любых значениях a и b верно равенство    

                          (a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .               (3)    


          Доказательство.    

                (a−b) 3     =     (a−b)(a 2−2ab+b 2)   =  

                =   a 3−2a 2b+ab 2   −   a 2b+2ab 2−b 3   =    

                =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3    

        Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,  
 то оно является тождеством. Это тождество называется  
 формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b 
подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z ,  
то опять получится тождество. 

                (5y 3−2z) 3   =   125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 .       (4)    

        Поэтому формула куба разности читается так:    

      куб разности двух выражений равен кубу первого выражения  
      минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,  
      плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,  
      минус куб второго выражения.