Question

y'=x/y+y/x
решить диф.ур.

Answer 1

Убедимся что данное дифференциальное уравнение является однородным. Для этого воспользуемся условием однородности
$y'= dfrac{lambda x}{lambda y} + dfrac{lambda y}{lambda x}$
Получаем
$y'= dfrac{x}{y} + dfrac{y}{x}$
То есть, данное уравнение - однородное.
Исходное уравнение перейдёт к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены:
$y=ux$ тогда $y'=u'x+u$
$u'x+u= dfrac{x}{ux} + dfrac{ux}{x} \ \ u'x+u= dfrac{1}{u} +u\ \ u'x= dfrac{1}{u}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными
$dfrac{du}{dx} cdot x= dfrac{1}{u} \ \ udu= dfrac{dx}{x}$
Проинтегрируем обе части уравнения
$displaystyle intlimits {u} , du= intlimits { dfrac{dx}{x} } , \ \ u^2=2ln x+C\ u=pm sqrt{2ln x+C}$

Обратная замена
$dfrac{y}{x} =pm sqrt{2ln x+C}$ - общий интеграл

$y=pm x sqrt{2ln x+C}$ - общее решение.


Ответ: $y=pm x sqrt{2ln x+C}$