Ответы
Ответ дал:
0
Убедимся что данное дифференциальное уравнение является однородным. Для этого воспользуемся условием однородности
![y'= dfrac{lambda x}{lambda y} + dfrac{lambda y}{lambda x} y'= dfrac{lambda x}{lambda y} + dfrac{lambda y}{lambda x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+dfrac%7Blambda+x%7D%7Blambda+y%7D+%2B+dfrac%7Blambda+y%7D%7Blambda+x%7D+)
Получаем
![y'= dfrac{x}{y} + dfrac{y}{x} y'= dfrac{x}{y} + dfrac{y}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+dfrac%7Bx%7D%7By%7D+%2B+dfrac%7By%7D%7Bx%7D+)
То есть, данное уравнение - однородное.
Исходное уравнение перейдёт к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены:
тогда ![y'=u'x+u y'=u'x+u](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3Du%27x%2Bu)
![u'x+u= dfrac{x}{ux} + dfrac{ux}{x} \ \ u'x+u= dfrac{1}{u} +u\ \ u'x= dfrac{1}{u} u'x+u= dfrac{x}{ux} + dfrac{ux}{x} \ \ u'x+u= dfrac{1}{u} +u\ \ u'x= dfrac{1}{u}](https://tex.z-dn.net/?f=u%27x%2Bu%3D+dfrac%7Bx%7D%7Bux%7D+%2B+dfrac%7Bux%7D%7Bx%7D+%5C+%5C+u%27x%2Bu%3D+dfrac%7B1%7D%7Bu%7D+%2Bu%5C+%5C+u%27x%3D+dfrac%7B1%7D%7Bu%7D+)
Получили уравнение с разделяющимися переменными
![dfrac{du}{dx} cdot x= dfrac{1}{u} \ \ udu= dfrac{dx}{x} dfrac{du}{dx} cdot x= dfrac{1}{u} \ \ udu= dfrac{dx}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=+dfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D+cdot+x%3D+dfrac%7B1%7D%7Bu%7D+%5C+%5C+udu%3D+dfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+)
Проинтегрируем обе части уравнения
![displaystyle intlimits {u} , du= intlimits { dfrac{dx}{x} } , \ \ u^2=2ln x+C\ u=pm sqrt{2ln x+C} displaystyle intlimits {u} , du= intlimits { dfrac{dx}{x} } , \ \ u^2=2ln x+C\ u=pm sqrt{2ln x+C}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+intlimits+%7Bu%7D+%2C+du%3D+intlimits+%7B+dfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D+%7D+%2C+%5C+%5C+u%5E2%3D2ln+x%2BC%5C+u%3Dpm+sqrt%7B2ln+x%2BC%7D+)
Обратная замена
- общий интеграл
- общее решение.
Ответ:![y=pm x sqrt{2ln x+C} y=pm x sqrt{2ln x+C}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dpm+x+sqrt%7B2ln+x%2BC%7D+)
Получаем
То есть, данное уравнение - однородное.
Исходное уравнение перейдёт к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены:
Получили уравнение с разделяющимися переменными
Проинтегрируем обе части уравнения
Обратная замена
Ответ:
Вас заинтересует
1 год назад
5 лет назад
5 лет назад
8 лет назад