Question

Периметр равнобедренного треугольника=128 см, а биссектриса, проведенная к основе=32 см Обчислите длину вписанного круга

Answer 1

Пусть a - основание равнобедренного треугольника, l - биссектриса, r - радиус вписанной окружности, b - боковая сторона.
Выразим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:
$S = dfrac{1}{2}Pr = 0,5 cdot 128r = 64r$
Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой, поэтому:
$S = dfrac{1}{2}al = 0,5a cdot 32 = 16a$
Приравняем теперь обе формулы:
$64r = 16 a \ a = 4r$.
Найдём по теореме Пифагора боковую сторону b:
$b = sqrt{( dfrac{1}{2} cdot 4r)^2 + 32^2} = sqrt{4r^2 + 1024} = 2 sqrt{r^2 + 256}$.
У нас известен периметр, поэтому мы можем сложить все известные стороны и найти таким образом радиус вписанной окружности:
$P = a + 2b \ 128 = 4r + 2 cdot 2 sqrt{r^2 + 256} \ r + sqrt{r^2 + 256} = 32 \ sqrt{r^2 + 256} = 32 - r \ r^2 + 256 = 1024 - 64r + r^2 \ 256 - 1024 = -64r \ r = 12$
Осталось найти длину круга:
$C = 2 pi r = 24 pi$
Ответ: $24 pi cm.$