Question

К оркужности, вписанной в тругольника ABC, проведены три касательные , которые отекли от треугольника ABC треугольники DAE,FBH и KCM. Периметры треугольников DAE,FBH и KCM соответсвенно равны 18,5 и 6 см. Найдите периметр треугольника

Answer 1

Хорошая задача. Она основана на чрезвычайно важном факте, который я бы включил в число самых главных теорем планиметрии. 

Теорема. Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке A' и продолжений сторон AB и AC соответственно в точках C' и B'. Тогда AC'=AB'=p - полупериметр треугольника. Кстати, такая окружность называется вневписанной по отношению к треугольнику.

Доказательство этой теоремы, если вдуматься, почти очевидно. Предлагается получить его самостоятельно. Или оформить в виде отдельного задания, приложив красивый чертеж.

Переходим к основной задаче. Данная окружность, являясь вписанной для треугольника ABC, является также вневписанной для трех маленьких. Поэтому отрезки сторон треугольника ABC от вершин до точек касания равны полупериметрам соответствующих треугольников. А периметр треугольника ABC равен сумме периметров трех маленьких P=18+5+6=29

Ответ: 29