Question

Как вывести формулы соотношения синуса и тангенса, косинуса и тангенса?

$sin x = frac{2tg frac{x}{2}}{1+tg^{2}frac{x}{2}} cos x =frac{1-tg^2 frac{x}{2}}{1+tg^{2} frac{x}{2}}$

 

Подробно, если несложно!

Answer 1

Сначала выведем для косинуса:
$1+tan^2cfrac{x}{2}=cfrac{1}{cos^2cfrac{x}{2}}\cos^2cfrac{x}{2}=cfrac{1}{1+tan^2cfrac{x}{2}}\2cos^2cfrac{x}{2}=1+cos x\1+cos x=cfrac{2}{1+tan^2cfrac{x}{2}}$
$cos x=cfrac{2}{1+tan^2cfrac{x}{2}}-1=cfrac{1-tan^2cfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}$
Получаем:
$cos x=cfrac{1-tan^2cfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}$
Теперь выведем для синуса:
$cos x=cfrac{1-tan^2cfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}\sin x=cos xtan x\tan x=cfrac{2tancfrac{x}{2}}{1-tan^2cfrac{x}{2}}\sin x=cfrac{1-tan^2cfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}cdotcfrac{2tancfrac{x}{2}}{1-tan^2cfrac{x}{2}}=cfrac{2tancfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}$
Получаем:
$sin x=cfrac{2tancfrac{x}{2}}{1+tan^2cfrac{x}{2}}$