Question

Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Answer 1

Перепишем уравнение в виде (2*x-1-y/x²)*dx+(1/x-2*y)*dy=0
Дифференцируя многочлен при множителе dx по y, получаем -1/x². Дифференцируя многочлен при множителе dy по x, получаем также -1/x².
Но если для дифференциального уравнения P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy =0 выполняется тождество dP/dy=dQ/dx, то выражение P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y), то есть P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=du. А так как du=0, то u(x,y)=const, и это выражение и является общим интегралом уравнения. Найдём функцию u(x,y).
Как известно, du=du/dx*dx+du/dy*dy, откуда P(x,y)=du/dx и Q(x,y)=du/dy. В нашем случае du/dx=2*x-1-y/x², откуда du=(2*x-1-y/x²)*dx и u(x,y)=∫(2*x-1-y/x²)*dx=x²-x+y/x+C(y), где C(y) - неизвестная пока функция. Дифференцируя теперь это равенство по y, получаем du/dy=1/x+C'(y). Из равенства 1/x+C'(y)=1/x-2*y находим C'(y)=-2*y, откуда C(y)=-2*∫y*dy=-y². Тогда окончательно u(x,y)=x²-x+y/x-y² и общим интегралом является выражение x²-x+y/x-y²=C, где C=const. Ответ: x²-x+y/x-y²=C.