Question

Сколько корней уравнения sinx+cosx=√2 принадлежит отрезку [-П; 2П]

Answer 1

Область допустимых решений уравнения:
$sinx+cosx textgreater 0$; 
Возведем в квадрат обе части уравнения. При возведении в квадрат могут получиться побочные решения, так как область допустимых решений после возведения в квадрат обеих частей уравнения расширяется (sinx+cosx<0).
$sin^{2}x+2sinxcosx+ cos^{2}x=2; sin^{2}x+ cos^{2} x=1; 2sinxcosx=sin2x;$
Тогда
$sin2x=1; 2x= frac{ pi }{2}+2 pi n$, n∈Z;
Решение в общем виде:
$x= frac{ pi }{4}+ pi n$, n∈Z;
На промежутке $[- pi ; 2 pi ]$:
$x_{1}=- frac{3}{4} pi , x_{2}= frac{ pi }{4}, x_{3}= frac{5}{4} pi .$
Однако при
$x_{1}= -frac{3}{4} pi, x_{3}= frac{5}{4} pi , sinx+cosx textless 0;$
Это решения уравнения, возведенного в квадрат, которые для исходного уравнения не подходят, т.к. область допустимых решений исходного уравнения sinx+cosx>0; 
Поэтому решение единственное 
$x= frac{ pi }{4}.$