Question

Найдите длины сторон прямоугольника с периметром 20 см, имеющего наименьшую диагональ.

Answer 1

1) Представим периметр в таком виде:
$P=2(x+(10-x))$, где x — первая сторона, 10-x — вторая сторона.

2) Найдём диагональ d по теореме Пифагора:
$d= sqrt{x^2+(10-x)^2} =sqrt{2x^2-20x+100}$

3) Составим функцию длины этой диагонали и через производную найдём её экстремум:
 
$f(x)=sqrt{2x^2-20x+100}\ f'(x)= frac{4x-20}{2sqrt{2x^2-20x+100}} = frac{2x-10}{sqrt{2x^2-20x+100}}$

Дискриминант подкоренного многочлена больше нуля — значит там корней нет. Следовательно, функция обнуляется только в одной точке: x=5.

4) Методом интервалов доказываем, что f(5) — точка минимума (а не максимума, если вдруг).

5) Найдём вторую сторону: $10-5=5$. Следовательно, наименьшую диагональ имеет квадрат :) Длина этой диагонали равна $5 sqrt{2}.$

Ответ: 5 см и 5 см (квадрат).