Question

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.

Answer 1

АВСД - трапеция, АС=3 ,  ВД=4 ,  средняя линия =2,5
 Проведём из т.С прямую СМ║ВД  (точка М - точка пересечения СМ и АД)
ВСМД - параллелограмм  ⇒  ВС=ДМ=3 , ВД=СМ=4 .
Так как средн. линия = 2,5  , то 2,5=(АД+ВС):2  ⇒  АД+ВС=2·2,5=5
АМ=АД+ДМ=АД+ВС=5
ΔАСМ имеет площадь ,равную площади трапеции, так как
S(трапеции)=(АВ+ВС)/2 ·h = 1/2·AM·h  (h - высота трапеции СН)
S(ΔАСМ)=1/2·АМ·h  (h - высота ΔАСМ = высоте трапеции СН)
Найдём площадь ΔАСМ, заметив, что он прямоугольный, так как
АМ=5, а  √(АС²+СМ²)=√(3²+4²)=√25=5, то есть выполняются условия теоремы Пифагора:  АМ²=АС²+СМ² .
S(ΔАСМ)=1/2·АС·СМ=1/2·3·4=6  ⇒  S(АВСД)=6

P.S.  Если бы ΔАСМ не оказался прямоугольным, то его площадь можно было бы найти по формуле Герона, т.к. все его стороны оказались известными.