Question

Из точки B окружности опущен перпендикуляр BM на её диаметр AC. AB=4 см. Найдите радиус окружности если отрезок AM на 4 см меньше CM

Answer 1

Ответ:

r=4 см

Объяснение:

Дано: АС - диаметр окружности, точка В лежит на окружности, ВМ⊥АС, СМ=АМ+4.

Найти: r.

Решение:

Рисунок к задаче смотри в прикрепленном файле.

Пусть АМ=х, тогда МС=х+4.

ΔАВМ прямоугольный, т.к. ВМ⊥АС (по условию).

По теореме Пифагора найдем ВМ.

$BM=sqrt{AB^2-AM^2}=sqrt{4^2-x^2}=sqrt{16-x^2}$

Проведем отрезок ВС. ΔАВС прямоугольный, т.к. вписан в окружность и одна его сторона является диаметром окружности.

ВМ - высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе - вычисляется как корень квадратный из произведения длин отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

$BM=sqrt{AM*MC}=sqrt{x*(x+4)}=sqrt{x^2+4x}$

Мы получили два разных выражения, при помощи которых можно найти длину отрезка ВМ. Поскольку результат у них будет одинаковый, приравняем их.

$sqrt{16-x^2}=sqrt{x^2+4x}\16-x^2=x^2+4x\x^2+x^2+4x-16=0\2x^2+4x-16=0|:2\x^2+2x-8=0$

По теореме Виета x₁=-4, х₂=2.

х=-4 - посторонний корень (т.к. длина отрицательной быть не может).

АМ=2, МС=2+4=6.

АС=АМ+МС=2+6=8

$r=frac{AC}{2}=frac{8}{2}=4$

Ответ: r=4 см.

Answer 2

Дано:

O - центр окружности

AB = 4 см

CM - AM = 4 см

Найти: r (радиус окружности)

Решение:

CM = CO + OM = r + OM

AM = OA - OM = r - OM

CM - AM = 4

r + OM - r + OM = 4

2×OM = 4

OM = 2 ⇒ CM = r + 2, AM = r - 2

Рассмотрим ΔMBA - прямоугольный

По теореме Пифагора:

$AB^2 = MB^2 + MA^2$

Рассмотрим ΔABC - прямоугольный, так как ∠ABC = 90° (опирается на диаметр)

По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

$MB^2 + MA^2 + AC^2 - BC^2 = 2AB^2\\AC^2 + MA^2 - (BC^2-MB^2) = 32\\AC^2 + AM^2 - CM^2 = 32\\(2r)^2 + (r-2)^2 - (r+2)^2 = 32\\4r^2 + r^2 - 4r + 4 - r^2 - 4r - 4 = 32\\4r^2 -8r - 32 = 0;;;|:4\\r^2 - 2r - 8 = 0\\\left {begin{array}{lcl} {{r_1+r_2=2} \ {r_1cdot r_2=-8}}end{array} right. Rightarrow r_1 = -2,;;r_2 = 4$

r₁ = -2 не подходит, так как радиус не может быть отрицательным, следовательно r = 4

Ответ: 4 см