Question

Найти координаты вектора А, который ортогонален векторам В=(-6; -5; 9) и С=(6; 8; 0) и имеет длину корень из 104

Answer 1

если векторы ортогональны (перпендикулярны), то их скалярное произведение равно нулю

Пусть вектор А имеет координаты (x;y;z), тогда

$left { {{A*B=0} atop {A*C=0}} right. textless = textgreater left { {{-6x-5y+9z=0} atop {6x+8y=0}} right. textless = textgreater left { {{-6x-5y+9z=0} atop {x=- frac{4y}{3} }} right. \ \ -6*(- frac{4y}{3})-5y+9z=0 \ \ 8y-5y+9z=0 \ 3y=-9z \ y=-3z \ \ x=- frac{4y}{3}=- frac{4*(-3z)}{3} =4z$

длина вектора равна √104, значит 


$sqrt{x^2+y^2+z^2} = sqrt{104}$

$sqrt{(4z)^2+(-3z)^2+z^2}= sqrt{104} \ \ sqrt{16z^2+9z^2+z^2} = sqrt{104} \ \ sqrt{26z^2}= sqrt{104} \ \ |z| sqrt{26} = sqrt{104} \ \ |z|= frac{ sqrt{104} }{ sqrt{26} }= sqrt{4} =2 \ \ z=^+_-2 \ \ 1) x=4z=4*2=8 \ \ \ y=-3z=-3*2=-6 \ \ A=(8;-6;2) \ \ 2) x=4z=4*(-2)=-8 \ \ y=-3z=-3*(-2)=6 \ \ A=(-8;6;-2)$

Ответ: А=(8;-6;2) или А=(-8;6;-2)