Question

Логарифмическое неравенство (не сходится с ответом). Красным цветом написан официальный ответ. Также красным цветом я выделил наиболее вероятную область с ошибкой. Помогите, пожалуйста, выяснить: там есть ошибка или нет, если есть, то в чём именно?

Answer 1

$log^2_2 (x^4-4x^2+4)+4log_2 (2x^2-4)-12 geq 0$
ОДЗ
$x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2>0$
$2x^2-4=2(x^2-2)>0$
$x^2-2>0$
х є $(-infty;-sqrt{2}) cup(sqrt{2};+infty)$

замена $x^2-2=y>0$
$log^2_2 y^2+4log_2 (2y) -12 geq 0$
с учетом y>0 используем формулу логарифма степени и логарифма произведения
$4log^2_2 y+4*log_2 2+4log_2 y-12 geq 0$
$4log^2_2 y+4*1+4log_2 y-12 geq 0$
$4log^2_2y+4log_2 y-8 geq 0$
замена
$log_2 y=t; y>0$
$4t^2+4t-8 geq 0$
$t^2+t-2 geq 0$ или $(t+2)(t-1) geq 0$
квадратичное неравенство A=1>0 - значит ветви параболы верх
критические точки $t+2=0;t_1=-2;$
$t-1=0;t_2=1$
$t_1<t_2$
значит имеет решение t є $(-infty;-2] cup [1;+infty)$ 
возврат к замене
1)  $log_2 y leq -2$ 
$y leq 2^{-2}=frac{1}{4}$
$0<x^2-2 leq frac{1}{4}$
х є $[-frac{3}{2};-sqrt{2}) cup(sqrt{2};+frac{3}{2}]$
2) $log_2 y geq 1$
$y geq 2^1$
$y geq 2$ 
возврат к замене
$x^2-2 geq2$, $x^2-2>0$
$x^2-2>2$
$x^2-4 geq0$
$(x-2)(x+2) geq 0$
квадратичное неравенство A=1>0 - значит ветви параболы верх
критические точки $x+2=0;x_1=-2;$
$x-2=0;x_2=2$
$x_1<x_2$
значит имеет решение x є $(-infty;-2] cup[2;+infty)$

 x є $(-infty;-2] cup [-frac{3}{2};-sqrt{2}) cup(sqrt{2};+frac{3}{2}] cup[2;+infty)$