Question

Бічна сторона гострокутного рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а висота, опущена на неї, — 24 см. Знайдіть периметр трикутника.

Answer 1

Нехай а,b,c  - сторони рівнобедреного трикутника, a=b=25 см - бічні сторони.
$h_a=h_b=24$ см

Площа трикутника дорівнює $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}*24*25=300$ кв.см

По формулі Герона-Архімеда
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)$
або
$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
$S^2=\frac{(a+b+c)}{2}*\frac{a+b-c}{2}*\frac{a+c-b}{2}*\frac{b+c-a}{2}$
$(25+25+c)*(25+25-c)*c*c=16*300^2$
$(50+c)(50-c)*c^2=1440000$
$(50^2-c^2)c^2=1440000$
$-c^4+2500c^2-1440000=0$
$c^4-2500c^2+1440000=0$
$c^2=t \geq 0$
$t^2-2500t+1440000=0$
$D=(-2500)^2-4*1*1440000=490000=700^2$
$t_1=\frac{2500-700}{2*1}=900$
$t_2=\frac{2500+700}{2*1}=1600$
$c^2=t; c>0$
$c^2=900=30^2; c_1=30$
$c^2=1600=40^2; c_2=40$

25-25<30<25+25; 25-25<40<25+25 - нерівність трикутника виконується

значить основа трикутника рівна 30 см або 40 см

$a^2+b^2-c^2=25^2+25^2-30^2=350>0$ - значить трикутника 25 см, 25 см, 30 см - гострокутний

$a^2+b^2-c^2=25^2+25^2-40^2=-350<0$ - значить трикутника 25 см, 25 см, 40 см -тупокутний

Периметр P=a+b+c=25см+25см+30см=80 см
відповідь: 80 см