Question

«Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными»

Answer 1

$1); ; y'=x^2y-x^2\\frac{dy}{dx}=x^2(y-1); ,; ; int frac{dy}{y-1} =int x^2, dx\\ln|y-1|= frac{x^3}{3}+C\\2); ; sin^2ycdot ctgx, dx+ cosxcdot tgy, dy=0; |:(sin^2ycdot cosx)\\int frac{ctgx, dx}{cosx}=-int frac{tgy, dy}{sin^2y}; ; ,; ; int frac{dx}{sinx}=-int frac{dy}{siny, cosy}\\ln|tgfrac{x}{2}|=-int frac{2dy}{sin2y}; ,; ; ln|tgfrac{x}{2}|=-ln|tgy|+lnC\\tgfrac{x}{2}=frac{C}{tgy}$

$star int frac{dx}{sinx}=[t=tgfrac{x}{2},; sinx=frac{2t}{1+t^2},; dx= frac{2, dt}{1+t^2}; ]=int frac{dt}{t}=\\=ln|t|+C=ln|tgfrac{x}{2}|+C; ; star$

$3); ; y'sqrt{x}=1+y^2; ,; ; ; y(4)=0\\ frac{dy}{dx}= frac{1+y^2}{sqrt{x}} ; ,; ; int frac{dy}{1+y^2} =int frac{dx}{sqrt{x} } \\arctg, y=2sqrt{x}+C\\arctg, 0=2sqrt4+C; ; to ; ; ; C=0-4=-4\\arctg, y=2sqrt{x}-4; ; ; -; ; otvet$

$4); ; (1+x)y, dx+(1-y)x, dy=0; ,; ; ; y(1)=1\\ frac{1+x}{x}dx+ frac{1-y}{y}dy =0; ,; ; ; int frac{1+x}{x}dx=- frac{1-y}{y} dy\\int (frac{1}{x}+1)dx=-int (frac{1}{y} -1)dy\\ln|x|+x=-ln|y|+y+C\\ln1+1=-ln1+1+C\\1=1+C; ; to ; ; C=0\\ln|x|+x=-ln|y|+yquad -; ; otvet$