Question

tgx+tg2x+tg3x=0
Прошу подробное решение

Answer 1

Формула тангенса суммы: 
tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x tg y)

Отсюда tg x + tg y = tg(x +y) * (1 - tg x tg y)
Если положить x = y, получится формула тангенса двойного угла 
tg 2x = 2 tg x / (1 - 2 tg^2 x)

Преобразуем выражение в левой части:
tg x + tg 2x + tg 3x = tg 3x * (1 - tg x tg 2x) + tg 3x = tg 3x (2 - tg x tg 2x) = tg 3x * (2 - tg x * 2 tg x / (1 - tg^2 x)) = 2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x)

2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / ( 1 - tg^2 x) = 0
tg 3x = 0 или 1 - 2 tg^2 x = 0
3x = πk, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z

При таких x все тангенсы существуют, посторонних корней не появилось.

Ответ. x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z