Question

Всем доброго вечера :) Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением. Определить его тип и решить :) Спасибо!!!
$y'+ frac{1}{x}*y= frac{lnx}{x}*y^2$

Answer 1

Уравнение Бернулли.

$y'+ frac{1}{x} cdot y= frac{lnx}{x} cdot y^2\\y=uv; ,; ; y'=u'v+uv'\\u'v+uv'+frac{uv}{x}= frac{lnx}{x} cdot (uv)^2\\u'v+u(v'+frac{v}{x})= frac{lnx}{x}cdot u^2v^2\\a); ; v'+frac{v}{x}=0; ,; ; frac{dv}{dx}=-frac{v}{x} ; ,; ; int frac{dv}{v}=-int frac{dx}{x}\\lnv=-lnx; ,; ; lmv=ln(x^{-1}); ,; ; v=frac{1}{x}$

$b); ; u'cdot frac{1}{x} = frac{lnx}{x}cdot u^2cdot frac{1}{x^2}\\ frac{du}{dx} = frac{lnx}{x^2} cdot u^2\\int frac{du}{u^2}=int frac{lnx}{x^2}$

$int u^{-2}cdot du=int x^{-2}cdot lnxcdot dx\\ Big [u=lnx,; dv=x^{-2}dx,; v=frac{x^{-1}}{-1}=-frac{1}{x},du=frac{dx}{x},; int u, dv=uv-int v, duBig ]\\frac{u^{-1}}{-1}=lnxcdot (-frac{1}{x})+int frac{dx}{x^2}\\-frac{1}{u}=-frac{lnx}{x}-frac{1}{x}-C; ; ; Rightarrow ; ; ; frac{1}{u}=frac{lnx}{x} +frac{1}{x}+C\\ frac{1}{u}= frac{lnx+1+Cx}{x} ; ; ; Rightarrow ; ; ; u= frac{x}{lnx+1+Cx}$

$c); ; y=uv=frac{1}{x}cdot frac{x}{lnx+1+Cx} \\y=frac{1}{lnx+Cx+1}$

Answer 2

спасибо огромное!)