Question

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка.
xy' + y = x + 1 ; y(1)=0

Answer 1

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим методом Бернулли
Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv', получаем

$x(u'v+uv')+uv=x+1\ \ u(v+v'x)+u'vx=x+1$

Данный метод состоит из двух этапов :

1) $v+v'x=0$
Это уравнение с разделяющимися переменными.
$v'=- dfrac{v}{x}$ отсюда $v= frac{1}{x}$

2) Находим u

$u'=x+1$
Интегрируя, получаем

$u= frac{x^2}{2} +x+C$

Тогда общее решение: $y= frac{x}{2} + frac{C}{x} +1$

Найдем теперь частное решение

0 = 1/2 + C + 1

C = -3/2

Частное решение имеет вид: $y= frac{x}{2}- frac{3}{2x} +1$

Answer 2

Можете подробно расписать как вы проинтегрировали u' ?

Answer 3

u = интеграл (x+1) dx = x^2 + x + C