Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/106/106d6276d97b53cdbf2ecb6544dd5960.png)
Ответы
Ответ дал:
0
Найдем сначала однородное уравнение:
![y''-5y'+6y=0 y''-5y'+6y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-5y%27%2B6y%3D0)
Пользуясь методом Эйлера, имеем характеристическое уравнение вида:
![k^2-5k+6=0 k^2-5k+6=0](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-5k%2B6%3D0)
Корни которого
и ![k_2=2 k_2=2](https://tex.z-dn.net/?f=k_2%3D2)
Общее решение однородного уравнения:![y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{2x} y_o=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_o%3DC_1e%5E%7B3x%7D%2BC_2e%5E%7B2x%7D)
2) Найдем частное решение
Положим![f(x)=(12x-7)e^{-x} f(x)=(12x-7)e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%2812x-7%29e%5E%7B-x%7D)
тогда частное решение будем искать в виде:
![widetilde{y}=(Ax+B)e^{-x} widetilde{y}=(Ax+B)e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=widetilde%7By%7D%3D%28Ax%2BB%29e%5E%7B-x%7D)
Найдем первую и вторую производную
![y'=-e^{-x}(Ax+B)+Ae^{-x}\ \ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B)-2Ae^{-x} y'=-e^{-x}(Ax+B)+Ae^{-x}\ \ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B)-2Ae^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D-e%5E%7B-x%7D%28Ax%2BB%29%2BAe%5E%7B-x%7D%5C+%5C+y%27%27%3De%5E%7B-x%7D%28Ax%2BB%29-Ae%5E%7B-x%7D-Ae%5E%7B-x%7D%3De%5E%7B-x%7D%28Ax%2BB%29-2Ae%5E%7B-x%7D)
Подставим в исходное уравнение
![Ax+B-2A-5(-(Ax+B)+A)+6(Ax+B)=12x-7\ Ax+B-2A+5Ax+5B-5A+6Ax+6B=12x-7\ 12Ax+12B-7A=12x-7 Ax+B-2A-5(-(Ax+B)+A)+6(Ax+B)=12x-7\ Ax+B-2A+5Ax+5B-5A+6Ax+6B=12x-7\ 12Ax+12B-7A=12x-7](https://tex.z-dn.net/?f=Ax%2BB-2A-5%28-%28Ax%2BB%29%2BA%29%2B6%28Ax%2BB%29%3D12x-7%5C+Ax%2BB-2A%2B5Ax%2B5B-5A%2B6Ax%2B6B%3D12x-7%5C+12Ax%2B12B-7A%3D12x-7)
Приравниваем коэффициенты при степени x
![displaystyle left { {{12A=12} atop {12B-7A=-7}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right. displaystyle left { {{12A=12} atop {12B-7A=-7}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7B12A%3D12%7D+atop+%7B12B-7A%3D-7%7D%7D+right.++to+left+%7B+%7B%7BA%3D1%7D+atop+%7BB%3D0%7D%7D+right.++)
Тогда частное решение имеет вид:![widetilde{y}=xe^{-x} widetilde{y}=xe^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=widetilde%7By%7D%3Dxe%5E%7B-x%7D)
Общее решение неоднородного уравнения:![y=y_o+widetilde{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+xe^{-x} y=y_o+widetilde{y}=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+xe^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dy_o%2Bwidetilde%7By%7D%3DC_1e%5E%7B3x%7D%2BC_2e%5E%7B2x%7D%2Bxe%5E%7B-x%7D)
![y'=3C_1e^{3x}+2C_2e^{2x}+e^{-x}-xe^{-x} y'=3C_1e^{3x}+2C_2e^{2x}+e^{-x}-xe^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D3C_1e%5E%7B3x%7D%2B2C_2e%5E%7B2x%7D%2Be%5E%7B-x%7D-xe%5E%7B-x%7D)
Найдем решение задачи Коши
![displaystyle left { {{C_1+C_2=0} atop {3C_1+2C_2+1=0}} right. to left { {{C_1=-1} atop {C_2=1}} right. displaystyle left { {{C_1+C_2=0} atop {3C_1+2C_2+1=0}} right. to left { {{C_1=-1} atop {C_2=1}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7BC_1%2BC_2%3D0%7D+atop+%7B3C_1%2B2C_2%2B1%3D0%7D%7D+right.++to+left+%7B+%7B%7BC_1%3D-1%7D+atop+%7BC_2%3D1%7D%7D+right.++)
![boxed{y=-e^{3x}+e^{2x}+xe^{-x}} boxed{y=-e^{3x}+e^{2x}+xe^{-x}}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7By%3D-e%5E%7B3x%7D%2Be%5E%7B2x%7D%2Bxe%5E%7B-x%7D%7D)
Пользуясь методом Эйлера, имеем характеристическое уравнение вида:
Корни которого
Общее решение однородного уравнения:
2) Найдем частное решение
Положим
Найдем первую и вторую производную
Подставим в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при степени x
Тогда частное решение имеет вид:
Общее решение неоднородного уравнения:
Найдем решение задачи Коши
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
5 лет назад
5 лет назад
8 лет назад
8 лет назад