Question

Вычислите x1^3+x2^3,где x1 и x2 корни уравнения x^2+x-5=0

Answer 1

$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)([x_1+x_2]^2-3x_1x_2)$

итак, нам надо вычислить значения выражения $(x_1+x_2)([x_1+x_2]^2-3x_1x_2)$

вспоминаем о теореме Виета, гласящей, что корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0,a=1$ составляют следующие равенства, объединённые между собой: $left[begin{array}{ccc}x_1+x_2=-b\x_1x_2=cend{array}right$

напишем совокупность равенств для исходного квадратного уравнения: $left[begin{array}{ccc}x_1+x_2=-1\x_1x_2=-5end{array}right$

а теперь подставляем: $(x_1+x_2)([x_1+x_2]^2-3x_1x_2)=(-1)([-1]^2-3*(-5))=-16$

ответ: –16