Question

Может кто умеет? Нужно найти сумму числового ряда (бесконечноть;n=1) 1/(n^2+9n+18). Решите пожалуйста

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.
По возможности перепроверьте, особенно там, где ряд расписывается после сокращения.

Answer 2

$displaystyle sum^{infty}_{n=1}frac{1}{n^2+9n+18}=sum^{infty}_{n=1}frac{1}{(n+3)(n+6)}=frac{1}{3}sum^{infty}_{n=1}frac{(n+6)-(n+3)}{(n+3)(n+6)}=\ \ \ =frac{1}{3}sum^{infty}_{n=1}left(frac{1}{n+3}-frac{1}{n+6}right)=frac{1}{3}bigg(frac{1}{4}-frac{1}{7}+frac{1}{5}-frac{1}{8}+frac{1}{6}-frac{1}{9}+frac{1}{7}-frac{1}{10}+frac{1}{8}-\ \ \ -frac{1}{11}+...+frac{1}{n+1}-frac{1}{n+4}+frac{1}{n+2}-frac{1}{n+5}+frac{1}{n+3}-frac{1}{n+6}bigg)=$

$displaystyle=frac{1}{3}bigg(frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}-frac{1}{n+4}-frac{1}{n+5}-frac{1}{n+6}bigg)$

Получили, что частичная сумма $displaystyle S_n=frac{1}{3}bigg(frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}-frac{1}{n+4}-frac{1}{n+5}-frac{1}{n+6}bigg)$. Переходя к пределу при $nto infty$, найдем сумму.

$S=displaystyle lim_{n to infty}S_n=frac{1}{3}lim_{n to infty}bigg(frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}-frac{1}{n+4}-frac{1}{n+5}-frac{1}{n+6}bigg)=\ \ \ =frac{1}{3}cdot left(frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}right)=frac{37}{180}$

Ответ: 37/180.