Question

81^(cosx)-12*9^(cosx)+27=0 найти корни в промежутке [-4π;3π/2] пожалуйста срочно

Answer 1

$81^{cos x}-12cdot 9^{cos x}+27=0\ (9^2)^{cos x}-12cdot 9^{cos x}+27=0\ \ 9^{2cos x}-12cdot 9^{cos x}+27=0$

Пусть $9^{cos x}=t$ и при этом t>0. В результате замены переменной получим квадратное уравнение относительно t

$t^2-12t+27=0\ (t-6)^2-9=0\ (t-6-3)(t-6+3)=0\ (t-9)(t-3)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$t-9=0;~~~Rightarrow~~~ t_1=9\ t-3=0;~~~Rightarrow~~~ t_2=3$

Возвращаемся к обратной замене.

$9^{cos x}=9\ cos x=1~~~Rightarrow~~~~ x_1=2 pi n,n in mathbb{Z}\ \ 9^{cos x}=3\ \ 2cos x=1~~~Rightarrow~~~~ x_2=pm frac{pi}{3}+2 pi n,n in mathbb{Z}$

Отбор корней из промежутка [-4π; 3π/2].

Для корня $x=2 pi n,n in mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=2picdot 0=0\ n=-1;~ x=2pi cdot(-1)=-2pi\ n=-2;~~ x=2pi cdot(-2)=-4pi$

Для корня $x=frac{pi}{3}+2 pi n,n in mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=frac{pi}{3}+2picdot 0=frac{pi}{3}+0=frac{pi}{3}\ n=-1;~~ x=frac{pi}{3}+2pi cdot(- 1)=frac{pi}{3}-2pi=frac{pi-6 pi }{3}=-frac{5pi}{3}\ n=-2;~~x=frac{pi}{3}+2pi cdot(-2)=frac{pi}{3}-4pi=frac{pi-12pi }{3}=- frac{11 pi }{3}$

Для корня $x=-frac{pi}{3}+2 pi n,n in mathbb{Z}$
$n=0;~~ x=-frac{pi}{3}+2picdot 0=-frac{pi}{3}+0=-frac{pi}{3}\ n=-1;~~ x=-frac{pi}{3}+2pi cdot(- 1)=-frac{pi}{3}-2pi=frac{-pi-6 pi }{3}=-frac{7pi}{3}$