Question

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 77 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

Answer 1

Пусть вся сумма кредита х рублей.
Ежегодно кредит будет увеличиваться в (1+r/100)=1+0.01r раз.
Рассмотрим выплату кредит за 2 года:
1-ый год: х(1+0,01r) - сумма долга
2-ой год: (х(1+0,001r)-131760)(1+0.01r) - сумма долга
Эта сумма соответствует 131760.
Для удобства вычислений в дальнейшем заменим (1+0,01r)=y.
(xy-131760)y=131760
xy-131760=131760/y
xy=131760(1+1/y)
x=131760(y+1)/y²
Этим мы выразили полную сумму кредита через проценты.

Рассмотрим увеличение долга и начисление процентов за 4 года:
1-ый год: xy
2-ой год: (ху-77760)у=(131760(1+1/y)-77760)у=54000у+131760
3-ий год: ((ху-77760)у-77760)у=(54000у+131760-77760)у=54000y²+54000y
4-ый год: (((ху-77760)у-77760)у-77760)у=(54000y²+54000y-77760)y
При этом остаток суммы в четвертый год составит 77760 рублей.
(54000y²+54000y-77760)y=77760
54000у(у+1)-77760(у+1)=0
(y+1)(54000y-77760)=0
y+1=0
y₁=-1 не подходит по условию, т.к. это проценты
54000y-77760=0
y₂=77760/54000=1.44
Проведем обратную замену:
1+0.01r=1.44
0.01r=0.44
r=44% - проценты по кредиту
х=131760(y+1)/y²=223260 рублей сумма кредита

Ответ БЫЛ ВЗЯТ КРЕДИТ В СУММЕ 223260 РУБ ПОД 44% годолвых