Question

Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0. Вероятность того, что попадание этой случайной величины на участок (− 1; 1) равна 0,5. Найти среднее квадратичное отклонение и написать выражение нормального закона.

Answer 1

Для случайной величины, распределенной нормально, вероятность отклонения от среднего выражается через функцию Лапласа:

$P(|x-mu| textless varepsilon sigma)=2Phi(varepsilon)$

Из таблиц находим, что $2Phi(varepsilon)=0.5$ при $varepsilonapprox0.675$. По условию X распределена симметрично относительно нуля, $mu=0$. Значит, $sigma=1/0.675$.

Подставляем найденные значения в функцию распределения:
$f_{mu,sigma}(x)=dfrac1{sqrt{2pi}sigma}expleft(-dfrac{(x-mu)^2}{2sigma^2}right)$
$f(x)=dfrac{0.675}{sqrt{2pi}}expleft(-dfrac{(0.675x)^2}{2}right)$