Question

Найти неопределённый интеграл, используя
тригонометрическую подстановку
$intlimits { frac{ sqrt{ x^{2} +4} }{ x^{4} } } , dx$

Answer 1

$int frac{sqrt{x^2+4}}{x^4} , dx= [; x=2tgt; ,; x^2+4=4tg^2t+4=4(tg^2t+1)=frac{4}{cos^2t}; ,\\dx=frac{2}{cos^2t}, dt; ,; frac{x}{2}=tgt; ,; t=arctgfrac{x}{2}; ]=$

$int frac{sqrt{frac{4}{cos^2t}}}{2^4, tg^4t} cdot frac{2, dt}{cos^2t} =frac{1}{2^2}int frac{dt}{tg^4tcdot cos^3t}=frac{1}{4}int frac{cost, dt}{sin^4t} =\\= frac{1}{4}int frac{d(sint)}{sin^4t} = frac{1}{4} cdot frac{(sint)^{-3}}{-3} +C=-frac{1}{12sin^3t}+C=\\=- frac{1}{12sin^3(arctgfrac{x}{2})} +C=[; sin(arctgfrac{x}{2})= frac{x}{sqrt{4+x^2}}]$

$=- frac{sqrt{(4+x^2)^3}}{12, x^3} +C$