Question

Для упаковки сыпучих продуктов изготавливают картонные коробки вместимостью 1 л, длина основания которых в 1,5 раза больше ширины. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы на изготовление ушло наименьшее количество материала?

Answer 1

Минимальная площадь поверхности при постоянном объеме будет у коробки кубической формы.
Действительно: площадь поверхности куба S = 6a²
                             объем куба со стороной а:  V = а*а*а = а³
Если мы уменьшим длину одной стороны: b = 0,5a, то для сохранения объема нужно  во столько же раз увеличить длину любой другой
стороны: h = 2a
Тогда:   V₁ = a*0,5a*2a = a³
              S₁ = 2(ab+bh+ah) = 2(0,5a²+a²+2a²) = 2*3,5a² = 7a²

По условию, a = 1,5b и V = 1 л = 1 дм³
Раз мы не можем добиться кубической формы коробки, логично будет предположить, что из всех оставшихся наименьшую площадь поверхности при заданном объеме будет иметь коробка с высотой, равной ширине.
Проверим:
                   V = 1,5b*b*b = 1,5b³  =>  b = ∛(1/1,5) ≈ 0,8735 (дм)             
                   S = 2(ab+bh+ah) = 2(1,5b²+b²+1,5b²) = 8b² ≈ 6,104 (дм²)

Если мы уменьшим высоту по сравнению с шириной в 1,5 раза:
                   V = 1,5b*b*b/1,5 = b³  =>  b = 1 (дм)
                   S = 2(ab+bh+ah) = 2(1,5b²+2b²/3+b²) = 5b²+4b²/3 =
                                                 = 6 1/3 b² ≈ 6,33 (дм²)

Таким образом, минимальное количество материала на изготовление коробки, емкостью 1 л, уйдет на коробку с размерами:
                     ширина b = 87,35 мм
                     длина    а = 1,5*87,35 ≈ 131 мм
                     высота h = 87,35 мм

Ответ: 131 мм; 87,35 мм; 87,35 мм

PS  Если взять высоту, равную длине, то:
                      V = 1,5b*1,5b*b = 2,25b³  =>  b = ∛1/2,25 ≈ 0,7631 (дм)
                      S = 2(ab+ah+bh) = 2(2,25b²+1,5b²+1,5b²) = 10,5b² =
                                                     = 10,5*0,582 = 6,114 (дм³)