Question

Помогите пожалуйста решить! Найти изображение по заданному оригиналу (Задание 1)

Answer 1

Разобьем дробь на слагаемые методом неопределённых коэффициентов.

$displaystyle frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} = frac{A}{p+1} + frac{B}{p-2}+ frac{Cp+D}{p^2+4} \ \ \ frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} = frac{A(p-2)(p^2+4)+B(p+1)(p^2+4)}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} +\ \ \ + frac{(Cp+D)(p+1)(p-2)}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} \ \ \ p+2=A(p-2)(p^2+4)+B(p+1)(p^2+4)+(Cp+D)(p+1)(p-2)$

$p^{0},, :,, 2=-8A+4B-2D\ p^1,, :,, 3=-5A+10B-2C-2D\ p^{-1},, :,, 1=-15A\ p^2,, :,,4=24B$

Решая эту систему, будем иметь

$A=- frac{1}{15} \ B= frac{1}{6} \ C=-frac{1}{10} \ D=-frac{2}{5}$

То есть, 

$displaystyle frac{p+2}{(p+1)(p-1)(p^2+4)} = -frac{ frac{1}{15} }{p+1} + frac{ frac{1}{6} }{p-1} - frac{ frac{1}{10} p+ frac{2}{5} } {p^2+4}$

Перейдем теперь к оригиналу

$displaystyle-frac{ frac{1}{15} }{p+1} + frac{ frac{1}{6} }{p-1} - frac{ frac{1}{10} p+ frac{2}{5} } {p^2+4}=- frac{1}{15} e^{-x}+ frac{1}{6} e^x- frac{1}{10} cos2x- frac{1}{5} sin2x$

Ответ  $boxed{- frac{1}{15} e^{-x}+ frac{1}{6} e^x- frac{1}{10} cos2x- frac{1}{5} sin2x}$