У рівнобічну трапецію вписано коло. Одна з бічних сторін точкою дотику ділиться на відрізки завдовжки 4 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.
Ответы
В равнобедренную трапецию вписана окружность. Одна из боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.
* * *
Обозначим трапецию ABCD, ВС||AD; АВ=СD.
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. ⇒
Т.к. трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны и точкой касания делятся на равные отрезки. ВС+АD=AB+CD=2•(9+4)=26 см
Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований.
S=h•(BC+AD):2.
По свойству отрезков касательных, проведенных из точки вне окружности, ВМ=ВК=СМ=4 см. ⇒ ВС=8 см, АD=26-8=18 см.
Высота равнобедренной трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - их полусумме. Полусумма оснований равна 26:2=13 см ⇒
НD=13⇒ АН=18-13=5
Из прямоугольного ∆ АВН по т. Пифагора высота ВН=12 см (5:12:13 - одна из Пифагоровых троек для сторон прямоугольного треугольника).
Ѕ=12•13=156 (см²)
