Ответы
Ответ дал:
0
Найдем сначала общее однородное уравнение
![y'''+4y''+5y'+2y=0 y'''+4y''+5y'+2y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27%2B4y%27%27%2B5y%27%2B2y%3D0)
Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть
, тогда получаем
![k^3+4k^2+5k+2=0\ k^3+k^2+3k^2+3k+2k+2=0\ k^2(k+1)+3k(k+1)+2(k+1)=0\ (k+1)(k^2+3k+2)=0\ (k+1)(k^2+k+2k+2)=0\ (k+1)(k(k+1)+2(k+1))=0\ (k+1)^2(k+2)=0\ k=-1\ k=-2 k^3+4k^2+5k+2=0\ k^3+k^2+3k^2+3k+2k+2=0\ k^2(k+1)+3k(k+1)+2(k+1)=0\ (k+1)(k^2+3k+2)=0\ (k+1)(k^2+k+2k+2)=0\ (k+1)(k(k+1)+2(k+1))=0\ (k+1)^2(k+2)=0\ k=-1\ k=-2](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E3%2B4k%5E2%2B5k%2B2%3D0%5C+k%5E3%2Bk%5E2%2B3k%5E2%2B3k%2B2k%2B2%3D0%5C+k%5E2%28k%2B1%29%2B3k%28k%2B1%29%2B2%28k%2B1%29%3D0%5C+%28k%2B1%29%28k%5E2%2B3k%2B2%29%3D0%5C+%28k%2B1%29%28k%5E2%2Bk%2B2k%2B2%29%3D0%5C+%28k%2B1%29%28k%28k%2B1%29%2B2%28k%2B1%29%29%3D0%5C+%28k%2B1%29%5E2%28k%2B2%29%3D0%5C+k%3D-1%5C+k%3D-2)
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
![y_o=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x} y_o=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_o%3DC_1e%5E%7B-2x%7D%2BC_2e%5E%7B-x%7D%2BxC_3e%5E%7B-x%7D)
Нахождение частного решения;
![y'''+4y''+5y'+2y=4e^x(3x+4) y'''+4y''+5y'+2y=4e^x(3x+4)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%27%2B4y%27%27%2B5y%27%2B2y%3D4e%5Ex%283x%2B4%29)
n=1 то частное решение будем искать в виде:![widetilde{y}=e^x(Ax+B) widetilde{y}=e^x(Ax+B)](https://tex.z-dn.net/?f=widetilde%7By%7D%3De%5Ex%28Ax%2BB%29)
Найдем производные
![y'=e^x(Ax+A+B)\ \ y''=e^x(2A+Ax+B)\ \ y'''=e^x(B+3A+Ax) y'=e^x(Ax+A+B)\ \ y''=e^x(2A+Ax+B)\ \ y'''=e^x(B+3A+Ax)](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3De%5Ex%28Ax%2BA%2BB%29%5C+%5C+y%27%27%3De%5Ex%282A%2BAx%2BB%29%5C+%5C+y%27%27%27%3De%5Ex%28B%2B3A%2BAx%29)
Подставим в исходное уравнение, сократив на![e^x e^x](https://tex.z-dn.net/?f=e%5Ex)
![B+3A+Ax+8A+4Ax+4B+5Ax+5A+5B+2Ax+2B=\ \ \ =12x+16\ \ \ 12Ax+16A+12B=12x+16 B+3A+Ax+8A+4Ax+4B+5Ax+5A+5B+2Ax+2B=\ \ \ =12x+16\ \ \ 12Ax+16A+12B=12x+16](https://tex.z-dn.net/?f=B%2B3A%2BAx%2B8A%2B4Ax%2B4B%2B5Ax%2B5A%2B5B%2B2Ax%2B2B%3D%5C+%5C+%5C+%3D12x%2B16%5C+%5C+%5C+12Ax%2B16A%2B12B%3D12x%2B16)
Приравниваем коэффициенты при степени х
![displaystyle left { {{12A=12} atop {16A+12B=16}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right. displaystyle left { {{12A=12} atop {16A+12B=16}} right. to left { {{A=1} atop {B=0}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7B12A%3D12%7D+atop+%7B16A%2B12B%3D16%7D%7D+right.+to+left+%7B+%7B%7BA%3D1%7D+atop+%7BB%3D0%7D%7D+right.+)
Тогда решение частного решения будет иметь вид:
![widetilde{y}=xe^x widetilde{y}=xe^x](https://tex.z-dn.net/?f=widetilde%7By%7D%3Dxe%5Ex)
Общее решение данного дифференциального уравнения:
![boxed{dot{y}=y_o+widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}+xe^x} boxed{dot{y}=y_o+widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}+xe^x}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7Bdot%7By%7D%3Dy_o%2Bwidetilde%7By%7D%3DC_1e%5E%7B-2x%7D%2BC_2e%5E%7B-x%7D%2BxC_3e%5E%7B-x%7D%2Bxe%5Ex%7D)
Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:
Нахождение частного решения;
n=1 то частное решение будем искать в виде:
Найдем производные
Подставим в исходное уравнение, сократив на
Приравниваем коэффициенты при степени х
Тогда решение частного решения будет иметь вид:
Общее решение данного дифференциального уравнения:
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
5 лет назад
5 лет назад
8 лет назад
8 лет назад