Ответы
Ответ дал:
0
Найдем сначала общее решение однородного дифференциального уравнения вида :
![y''-y=0 y''-y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-y%3D0)
Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть
, тогда будем получать
![k^2-1=0\ k=pm1 k^2-1=0\ k=pm1](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-1%3D0%5C+k%3Dpm1)
Общее решение однородного уравнения:![y_o=C_1e^x+C_2e^{-x} y_o=C_1e^x+C_2e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=y_o%3DC_1e%5Ex%2BC_2e%5E%7B-x%7D)
Найдем частное решение.
Примем константы за функции
![displaystyle left { {{C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0} atop {C_1'e^x-C_2'e^{-x}= frac{e^x}{e^x+1} }} right. displaystyle left { {{C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0} atop {C_1'e^x-C_2'e^{-x}= frac{e^x}{e^x+1} }} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7BC_1%27e%5Ex%2BC_2%27e%5E%7B-x%7D%3D0%7D+atop+%7BC_1%27e%5Ex-C_2%27e%5E%7B-x%7D%3D+frac%7Be%5Ex%7D%7Be%5Ex%2B1%7D+%7D%7D+right.+)
![C_1'e^x=-C_2'e^{-x} C_1'e^x=-C_2'e^{-x}](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%27e%5Ex%3D-C_2%27e%5E%7B-x%7D)
И подставим во второе уравнение
![-C_2'e^{-x}-C_2'e^{-x}= dfrac{e^x}{e^x+1} \ \ C_2'=- dfrac{e^{2x}}{2(e^x+1)} \ \ \ C_1'= dfrac{1}{2(e^x+1)} -C_2'e^{-x}-C_2'e^{-x}= dfrac{e^x}{e^x+1} \ \ C_2'=- dfrac{e^{2x}}{2(e^x+1)} \ \ \ C_1'= dfrac{1}{2(e^x+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=-C_2%27e%5E%7B-x%7D-C_2%27e%5E%7B-x%7D%3D+dfrac%7Be%5Ex%7D%7Be%5Ex%2B1%7D+%5C+%5C+C_2%27%3D-+dfrac%7Be%5E%7B2x%7D%7D%7B2%28e%5Ex%2B1%29%7D+%5C+%5C+%5C+C_1%27%3D+dfrac%7B1%7D%7B2%28e%5Ex%2B1%29%7D+)
Интегрируя обе части уравнения, имеем
![displaystyle left { {{C_1= frac{x}{2}- frac{1}{2} ln(e^x+1)+widetilde{C_1}} atop {C_2=- frac{e^x}{x} + frac{1}{2} ln(e^x+1)+widetilde{C_2}}} right. displaystyle left { {{C_1= frac{x}{2}- frac{1}{2} ln(e^x+1)+widetilde{C_1}} atop {C_2=- frac{e^x}{x} + frac{1}{2} ln(e^x+1)+widetilde{C_2}}} right.](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++left+%7B+%7B%7BC_1%3D+frac%7Bx%7D%7B2%7D-+frac%7B1%7D%7B2%7D+ln%28e%5Ex%2B1%29%2Bwidetilde%7BC_1%7D%7D+atop+%7BC_2%3D-+frac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D+%2B+frac%7B1%7D%7B2%7D+ln%28e%5Ex%2B1%29%2Bwidetilde%7BC_2%7D%7D%7D+right.+)
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
![boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-x}-0.5+0.5xe^x+ln(e^x+1)(0.5e^{-x}-0.5e^x)} boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-x}-0.5+0.5xe^x+ln(e^x+1)(0.5e^{-x}-0.5e^x)}](https://tex.z-dn.net/?f=boxed%7By%3DC_1e%5Ex%2BC_2e%5E%7B-x%7D-0.5%2B0.5xe%5Ex%2Bln%28e%5Ex%2B1%29%280.5e%5E%7B-x%7D-0.5e%5Ex%29%7D)
Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть
Общее решение однородного уравнения:
Найдем частное решение.
Примем константы за функции
И подставим во второе уравнение
Интегрируя обе части уравнения, имеем
Тогда общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
5 лет назад
5 лет назад
8 лет назад
8 лет назад