Question

Привет, помогите решить задачу с использованием дифференциальных уравнений.

Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Известно, что трение пропорционально угловой скорости. Определить, с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 4 мин, если при t = 0 он делает 120 об/мин, а при t = 1 мин его скорость стала 80 об/мин

Answer 1

Напишем дифференциальное уравнение для угловой скорости $omega$:
$omega'(t)=-alphaomega(t), ;alpha textgreater 0$

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
$omega(t)=omega(0)e^{-alpha t}$

По условию $omega(0)=120$, а $e^{-alpha}$ можно найти из условия $omega(1)=80$:
$omega(1)=120e^{-alpha}=80\ e^{-alpha}=dfrac23\ boxed{omega(t)=180cdotleft(dfrac23right)^t}$

ω(4) = 180 * (2/3)^4 = 320/9 ≈ 35.6 об/мин