Question

Помогите вычислить определенные интегралы

Answer 1

$1); ; int, frac{1+sqrt{x}}{x^2+2sqrt{x^3}}, dx =[; x=t^2; ,; dx=2t, dt; ,; t=sqrt{x}; ]=\\= int, frac{1+t}{t^4+2t^3}cdot 2t, dt= int, frac{2t(t+1)}{t^3(t+2)} dt=2cdot int frac{t+1}{t^2(t+2)}, dt=\\frac{t+1}{t^2(t+2)}=frac{A}{t^2}+frac{B}{t}+frac{C}{t+2}$

$t+1=A(t+2)+Bt(t+2)+Ct^2\\t^2; |; B+C=0\\t; |; A+2B=1\\t^0; |; 2A=1; ,quad A=frac{1}{2}\\2B=1-A=frac{1}{2}; ,; ; B=frac{1}{4}\\C=-B=-frac{1}{4}$

$=int , Big (frac{1/2}{t^2} +frac{1/4}{t}+frac{-1/4}{t+1} Big )dt=frac{1}{2} cdot frac{-1}{t} +frac{1}{4}cdot ln|t|- frac{1}{4}cdot ln|t+1|=\\=- frac{1}{2sqrt{x}}+ frac{1}{4}cdot ln|sqrt{x}|- frac{1}{4}cdot ln|sqrt{x}+1|+C$

$int limits _0^1frac{1+sqrt{x}}{x^2+2sqrt{x^3}}dx =limlimits_{varepsilon to +0}int limits _{varepsilon }^1frac{1+sqrt{x}}{x^2+2sqrt{x^3}}=\\=limlimits _{varepsilon to +0}(-frac{1}{2} +frac{1}{4}cdot ln1-frac{1}{4}cdot ln2+underbrace {frac{1}{2varepsilon } }_{infty }- frac{1}{4}cdot lnvarepsilon + frac{1}{4}cdot ln|1+varepsilon |=infty$

$2); ; intlimits^1_0 (x^2-1)e^{2x} , dx =[; u=x^2-1,; du=2x, dx; ,; dv=e^{2x}dx; ,\\v= frac{1}{2}cdot e^{2x}; ]=frac{1}{2}cdot (x^2-1)e^{2x}Big |_0^1- intlimits^1_0 , xcdot e^{2x}, dx =\\=[u=x; ,; du=dx; ,; v= frac{1}{2}cdot e^{2x} ; ]= frac{1}{2}cdot (0-(-1)cdot e^0)-\\- frac{x}{2}cdot e^{2x} Big |_0^1+int limits _0^1frac{1}{2}cdot e^{2x}dx= frac{1}{2}-frac{1}{2e^2} +frac{1}{4}cdot e^{2x}Big |_0^1=\\=frac{1}{2}- frac{1}{2e^2} + frac{1}{4}(e^2-1)$