Question

Найти увеличенный в 6 раз корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:
$( sqrt{5} - sqrt{2} ) 3^{x} - frac{ 3^{4-x} }{ sqrt{5} + sqrt{2} } - ( sqrt{6}- sqrt{2} ) 2^{1-2x} + frac{ 2^{2x-3} }{ sqrt{6} + sqrt{2} } =0$

Answer 1

$( sqrt{5}- sqrt{2} ),3^x- frac{3^{4-x}}{ sqrt{5} + sqrt{2} } -( sqrt{6}- sqrt{2} ),2^{1-2x}+ frac{2^{2x-3}}{ sqrt{6}+ sqrt{2} } =0\ frac{( sqrt{5}- sqrt{2})(sqrt{5} + sqrt{2}),3^x-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}- frac{(sqrt{6}- sqrt{2})(sqrt{6}+sqrt{2}),2^{1-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}} =0\ frac{( (sqrt{5})^2- (sqrt{2})^2),3^x-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}- frac{((sqrt{6})^2- (sqrt{2})^2),2^{1-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}} =0$
$frac{( 5- 2),3^x-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}- frac{(6-2),2^{1-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}} =0\ frac{3*3^x-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}- frac{4*2^{1-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}} =0\ frac{3^{x+1}-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}= frac{2^{3-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}}$
Рассмотрим две функции
$y_1=frac{3^{x+1}-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}\ y_2= frac{2^{3-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}}$
Найдем их производные
$y_1'=frac{(3^{x+1}+3^{4-x}) , ln3}{sqrt{5} + sqrt{2}}\ y_2'= -frac{(2^{3-2x}+2^{2x-3}) , ln2}{sqrt{6}+sqrt{2}}$

y₁'>0 для любого x ⇒ функция y₁ возрастает на (-∞;+∞)
y₂'<0 для любого x ⇒ функция y₂ убывает на (-∞;+∞)
Следовательно, графики функций могут пересекаться только в одной точке. Найдем ее из условия y₁=0 и y₂=0.

$frac{3^{x+1}-3^{4-x}}{sqrt{5} + sqrt{2}}=0\ 3^{x+1}-3^{4-x}=0\ 3*3^x- frac{3^4}{3^x}=0\ 3*3^{2x}-81=0 \ 3^{2x}-27=0\ 3^{2x}=27\ 3^{2x}=3^3\ 2x=3\ x=3:2\ x=1,5$

$frac{2^{3-2x}-2^{2x-3}}{sqrt{6}+sqrt{2}} =0\ 2^{3-2x}-2^{2x-3}=0|*2^{2x}\ 2^3- frac{2^{4x}}{2^3} =0\ 8- frac{2^{4x}}{8} =0\ 2^{4x}=64\ 2^{4x}=2^6 4x=6\ x=6:4\ x=1,5$
6*1,5=9
Ответ: 9

Answer 2

Только, почему рассматриваем равенство нулю обеих функций?

Answer 3

task/24839100
---.---.---.---.---.---
решение см приложения 

3^ t  - 1   и   - (1- 4^t)  имеют противоположные знаки при  t ≠ 0
а  если t = 0 ⇒(3^t -1) = - (1 -4^t) =0