Question

На беговой дорожке стадиона длиной 400м одновременно со старта в одном направлении начинают забег два спортсмена на дистанцию 10 км.Каждый из них бежит со своей постоянной скоростью.Первый спортсмен приходит на финиш на 16 мин 40 с раньше второго и через 43 мин 20 с после того,как он второй раз на дистанции (не считая момента старта) обогнал второго спортсмена.Известно,что скорость первого спортсмена больше 100м/мин.Сколько всего раз первый спортсмен обгонял второго на дистанции после старта .

Answer 1

Пусть у 1 спортсмена скорость v1 м/с, а у 2 скорость v2 м/с. v1 > v2.
Когда первый спортсмен догоняет второго, значит, он за тоже время t с пробежал на S = 400 м больше, чем 2 спортсмен.
1 приходит к финишу на 16 мин 40 сек = 16*60 + 40 = 1000 сек раньше,
чем 2 спортсмен.
10000/v1 + 1000 = 10000/v2
Делим все на 1000
10/v1 + 1 = 10/v2
(10 + v1)/v1 = 10/v2
v2 = 10*v1/(10 + v1)
Когда 1-ый догнал 2-го второй раз, то он пробежал на 800 м больше.
t*v1 = t*v2 + 800 = t*10*v1/(10 + v1) + 800
t*(v1 - 10*v1/(10 + v1)) = 800
t*(10*v1 + v1^2 - 10*v1)/(10 + v1) = 800
t*v1^2/(10 + v1) = 800
t = 800(10 + v1)/v1^2
А через 43 мин 20 сек = 43*60+20 = 2600 сек после этого 1 финишировал.
800(10 + v1)/v1^2 + 2600 = 10000/v1
Выберем корень больше 100 м/мин = 100/60 = 5/3 м/с
Делим все на 200 и умножаем на v1^2
4(10 + v1) + 13v1^2 = 50v1
13v1^2 - 46v1 + 40 = 0
D/4 = 23^2 - 13*40 = 529 - 520 = 9 = 3^2
v1 = (23 - 3)/13 = 20/13 < 5/3 - не подходит
v1 = (23 + 3)/13 = 2 > 5/3 - подходит.
Скорость 1 спортсмена v1 = 2 м/с. Скорость 2 спортсмена
v2 = 10*v1/(10 + v1) = 10*2/(10 + 2) = 20/12 = 5/3 м/с
1 спортсмен пробежит 10000 м = 25 кругов за 10000/2 = 5000 сек.
2 за эти же 5000 сек пробежит 5000*5/3 = 25000/3 = 8333 1/3 м.
Это 8333/400 = 20,83 ~ 21 круг.
Если 1 пробежит 25 кругов, а 2 за это же время 21 круг, то 1 обгонит 2 ровно 4 раза.