Question

Дан треугольник АВС с площадью 30 см^2. На стороне ВС взята точка Е, на
стороне АС взята точка Р так, что BE : ЕС = 2 : 3, АР : PC = 1 : 2. Найдите
площадь четырехугольника АВЕР.

Answer 1

Рассмотри два случая: угол C - прямой и непрямой (острый или тупой).
I. ∠С - прямой
$S_{Delta ABC}= frac{1}{2} AC*BC=30\ S_{Delta PEC}= frac{1}{2} PC*EC=30\ PC= frac{2}{3} AC EC= frac{3}{5} BC\ S_{Delta PEC}= frac{1}{2}*frac{2}{3} AC*frac{3}{5} BC= frac{2}{5} S_{Delta ABC}=0,4*30=12\ S_{ABEP}=S_{Delta ABC}-S_{Delta PEC}=30-12=18$  
II. ∠C - острый или тупой
$S_{Delta ABC}= frac{1}{2} AH*BC=30\ S_{Delta PEC}= frac{1}{2} PF*EC$
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки( следствие из теоремы Фалеса), то есть
$PF= frac{2}{3} AH$
Тогда
$S_{Delta PEC}= frac{1}{2} PF*EC= frac{1}{2} * frac{2}{3} AH* frac{3}{5} BC= frac{2}{5}S_{Delta ABC}=0,4*30=12\ S_{ABEP}=S_{Delta ABC}-S_{Delta PEC}=30-12=18$

Ответ: 18 см²