Question

Из трех хоть одно задание

Answer 1

$3)\; \; z=\sqrt[6]{x^2-4x+y^2-6y+4}\\\\OOF:\; \; x^2-4x+y^2-6y+4 \geq 0\\\\(x-2)^2-4+(y-3)^2-9+4 \geq 0\\\\(x-2)^2+(y-3)^2 \geq 9$

  $(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$  -  окружность с центром в точке С(2,3) и радиусом R=3 . 
ООФ - это часть плоскости, которая находится вне этой окружности, граница входит в ООФ.

$4)\; \; z= \frac{xy^2-sin3x}{e^{2x}} \; ,\; \; M_0(0,-2)\; ,\; \; M(-1,-3)\\\\\vec{l}=\overline {M_0M}=(-1,-1)\; ,\; \; |\vec{l}|=\sqrt{1+1}=\sqrt2\; ,\\\\\vec{l}^0=(-\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2})=(cos\alpha ,cos\beta)\\\\z'_{x}= \frac{(y^2-3cos3x)e^{2x}-(xy^2-sin3x)\cdot 2e^{2x} }{(e^{2x})^2} \; \; ,\; \; z'_{x}(M_0)= \frac{(4-3)}{1} =1\\\\z'_{y}= \frac{1}{e^{2x}} \cdot 2xy\; \; ,\; \; z'_{y}(M_0)=0$

$\frac{\partial z}{\partial \vec{l}} (M_0)=z'_{x}(M_0)\cdot cos \alpha +z'_{y}(M_0)\cdot cos \beta =1\cdot (-\frac{1}{\sqrt2})+0\cdot (-\frac{1}{\sqrt2})=-\frac{1}{\sqrt2}$