Question

50 баллов.
Доказать, что любая монотонная на R функция непрерывна всюду , кроме не более чем счётного множества, причем в точке этого множества существуют пределы функции слева и справа.

Answer 1

Докажем сначала вторую часть теоремы. Не ограничивая общности будем считать, что функция монотонно неубывает (для невозрастающей доказательство аналогичное). Возьмем точку $x_0$. Так как функция монотонна на R, то для $\forall x, x\ \textless \ x_0 \Rightarrow f(x)\leq f(x_0)$. Пусть y - точная верхняя грань $\{f(x)| x\ \textless \ x_0\}$. Для $\forall \varepsilon \ \textgreater \ 0 \Rightarrow y-\varepsilon$ не является верхней гранью данного множества. Поэтому $\exists x'\ \textless \ x_0: y-\varepsilon\ \textless \ f(x')$.
$\forall x,\, x'\ \textless \ x\ \textless \ x_0 \Rightarrow y-\varepsilon\ \textless \ f(x')\leq f(x)\leq y\ \textless \ y+\varepsilon\Rightarrow |f(x)-y|\ \textless \ \varepsilon$
Если ввести $\delta=\delta(\varepsilon)=x_0-x'$, то получится как раз определение предела слева по Коши.
Аналогично доказывается существование правого предела.
Из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода.
Если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)>f(x-0). Так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. Назовем его h(x). Сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. Если $x_1< x_2$ - две точки разрыва, то $f(x_1+0)\leq f(x_2-0)\Rightarrow h(x_1)\ \textless \ h(x_2)$. Отсюда разным точкам разрыва соответствуют различные h(x). Рациональных чисел счетное число, поэтому h(x) - не более чем счетно.