Question

Помогите решить задачу:
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20%

Answer 1

Пусть в кредит на $n$ месяцев взяли $s_0$ рублей. Тогда:
- после первого месяца остаток по кредиту $s_1=1.01s_0-v_1$
- после второго месяца $s_2=1.01s_1-v_2$
- и так далее
- после n-ого (последнего) месяца $s_n=1.01s_{n-1}-v_n$,
где $v_1, \ v_2, \ ..., \ v_n$ - выплаты в 1, 2, ..., n месяце. Заметим, что последний остаток $s_n=0$, так как через n месяцев весь кредит выплачен.

По условию известно, что общая сумма выплат на 20% больше суммы, взятой в кредит:
$v_1+v_2+...+v_n=1.2s_0$

В системе $\left\{\begin{array}{l} s_1=1.01s_0-v_1 \\ s_2=1.01s_1-v_2 \\ ... \\ s_n=1.01s_{n-1}-v_n \end{array}$ сложим все уравнения, после чего слагаемые вида $v_i$ перенесем влево, а слагаемые вида $s_i$ - вправо.
Получим выражение:
$v_1+v_2+...+v_n=1.01(s_0+s_1+...+s_{n-1})-(s_1+s_2+...+s_n)$
Выражение стоящее слева заменяем на $1.2s_0$:$1.2s_0=1.01(s_0+s_1+...+s_{n-1})-(s_1+s_2+...+s_n)$
Удобно в первую скобку добавить нулевое слагаемое $s_n$:$1.2s_0=1.01(s_0+s_1+...+s_n)-(s_1+s_2+...+s_n)$
Первую скобку раскроем частично следующим образом:$1.2s_0=1.01s_0+1.01(s_1+...+s_n)-(s_1+s_2+...+s_n)$
Приводим подобные:
$0.19s_0=0.01(s_1+...+s_n) \\\ 19s_0=s_1+...+s_n$

По условию сказано, что "15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца". Это означает, что $s_0, \ s_1, \ s_2, \ ..., \ s_n$ уменьшаются равномерно, то есть составляют арифметическую прогрессию.
Найдем сумму $s_1+...+s_n$:
$19s_0= \dfrac{s_1+s_n}{2}\cdot n$
Так как $s_n=0$, то выражение упрощается:
$19s_0= \dfrac{s_1}{2}\cdot n$
Введем разность прогрессии $d$. Тогда:
$19s_0= \dfrac{s_0+d}{2}\cdot n$
Выразим $s_n$ через первый член и разность прогрессии:
$s_n=s_0+dn$
Так как $s_n=0$, то $s_0=-dn$. Подставляем в соотношение:$-19dn= \dfrac{-dn+d}{2}\cdot n \\\ 19dn= \dfrac{n-1}{2}\cdot dn \\\ 19= \dfrac{n-1}{2} \\\ n-1=38 \\\ \Rightarrow n=39$
Ответ: 39 месяцев