Question

Зарядка для хвоста-7. Задача для супер-пупер знатоков! Придумал, но в свое время не смог решить. Вот теперь "добил" ее. Так что попробуйте и вы тоже.

Построить треугольник по стороне, радиусу описанной окружности и биссектрисе угла, противоположному этой стороне. ("биссектриса" - подразумевается что это отрезок биссектрисы от угла до стороны)

Дерзайте, авось получится!

Answer 1

Так, вторая попытка :) Постараюсь коротко.
1) Окружность заданного радиуса R.
2) в ней хорда заданной длины AB.
3) диаметр DF через середину AB - точку M; обозначу DM = d;
4) на MF, как на диаметре, строится окружность. O1 - её центр
5) DK - касательная к этой окружности, её длина в квадрате равна 2R*d
6) продлить O1K на половину заданной длины биссектрисы L/2; тогда
DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;
7) продлить DP на L/2; до точки C2;
8) полученным радиусом DC2 провести окружность с центром в D до пересечения с первой окружностью. Это точка C - третья вершина треугольника ABC.

Смысл построения вот в чем. Где бы не лежала точка С на окружности, биссектриса угла С все равно придет в точку D. Пусть при этом она пересекает AB в точке C1. По условию CC1 = L - заданная величина.
Очевидно, что DM/DC1 = DC/DF; или, если обозначить DC1 = x; то
d/x = (x + L)/(2R); или x^2 + x*L - 2Rd = 0; (x + L/2)^2 = (L/2)^2 + 2Rd; (это я просто решил квадратное уравнение :))
Отрезок DP на чертеже как раз и построен так, что DP^2 = (L/2)^2 + 2Rd;

Answer 2

Описанная окружность $x^2+y^2=2Rx$ (центр расположили на оси OX); в полярных координатах $\rho=2R\cos \varphi.$ Прямая x=d пересекает окружность в точках A и B (|AB|=c известно, $d=R-\sqrt{R^2-(\frac{c}{2})^2}$). Луч, выходящий из начала координат и образующий угол 
$\varphi$ с осью OX, пересекает AB в точке D: $|OD|=\frac{d}{\cos\varphi},$ а окружность пересекает в точке C : $|OC|=2R\cos \varphi.$ Остается приравнять |CD| к L - длине биссектрисы:

$2R\cos \varphi - \frac{d}{\cos \varphi}=L;\ 2R\cos^2\varphi-L\cos\varphi -d=0;$

$\cos\varphi=\frac{L+\sqrt{L^2+8Rd}}{4R}$

Думаю, что объяснять, как производятся дальнейшие построения, не нужно