Question

сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. Если ко второму изних прибавить 2, к третьему 12, а первое оставить без изменения, получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение исходных трёх чисел.

Answer 1

Пусть первый член арифметической прогрессии $a_1$, второй - $a_2=a_1+d$, третий - $a_3=a_1+2d$. Их сумма по условию равна 12:
$a_1+a_2+a_3=12 \\\ a_1+a_1+d+a_1+2d=12 \\\ 3a_1+3d=12 \\\ a_1+d=4$
Первый член геометрической прогрессии в этом случае $b_1=a_1$, второй -$b_2=a_2+2=a_1+d+2$, третий - $b_3=a_3+12=a_1+2d+12$.
Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_2^2=b_1b_3 \\\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12)$
Объединяем два уравнения в систему:
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12) \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (4+2)^2=a_1(4+d+12) \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} d=4-a_1 \\ a_1(d+16)=36 \end{array}$
$a_1(4-a_1+16)=36 \\\ a_1(20-a_1)=36 \\\ 20a_1-a_1^2=36 \\\ a_1^2-20a_1+36=0 \\\ (a_1-18)(a_1-2)=0$
1.
$(a_1)_1=18 \Rightarrow d=4-18=-14; \ a_2=4; \ a_3=-10$ - не все члены положительные числа - противоречие условию
2.
$(a_1)_2=2 \Rightarrow d=4-2=2; \ a_2=4; \ a_3=6 \\\ a_1a_2a_3=2\cdot4\cdot6=48$
Ответ: 48