Question

Ребятушки. Срочно выручайте. Хочу свериться.

При каких значениях параметра a уравнение
$\ln (3x-1)\sqrt{x^2-8x+8a-a^2}=0$
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4]

Answer 1

Попробую. Тут недавно был аналогичный вопрос.
$ln(3x-1)* \sqrt{x^2-8x+8a-a^2} =0$
$ln(3x-1)* \sqrt{(x^2-8x+16)-(a^2-8a+16)} =0$
$ln(3x-1)* \sqrt{(x-4)^2-(a-4)^2} =0$
$ln(3x-1)* \sqrt{(x-a)(x-8+a)} =0$
Корни этого уравнения:
1) ln(3x - 1) = 0; 3x - 1 = 1; x1 = 2/3 ∈ [0; 4]
2) x2 = a
3) x3 = 8 - a
Нам нужно, чтобы только 1 корень принадлежал [0; 4]
Это возможно в таких случаях:
1) x = 2/3 ∈ [0; 4], тогда (2/3 - a)(2/3 - 8 + a) >= 0
-(a - 2/3)(a - 22/3) >= 0
a ∈ [2/3; 22/3]

2) x = a ∈ [0; 4], тогда
{ a ∈ [0; 4]
{ 3a - 1 > 0
Получаем
{ a ∈ [0; 4]
{ a > 1/3
a ∈ (1/3; 4]

3) x = 8 - a ∈ [0; 4]; тогда
{ a ∈ [4; 8]
{ 3(8 - a) - 1 > 0
Получаем
{ a ∈ [4; 8]
{ 24 - 3a - 1 > 0; a < 23/3
a ∈ [4; 23/3)
1 корень на интервале [0; 4] будет при a ∈ (1/3; 2/3] U [22/3; 23/3)
Это в случае, если все три корня x1 = 2/3; x2 = a; x3 = 8 - a различны.
Если же два корня совпадают, то могут быть варианты:
1) x1=x2=a=2/3 ∈ [0; 4], тогда x3=8-a=8-2/3=22/3 ∉ [0; 4] - 1 корень на [0; 4].
2) x1=x3=8-a=2/3 ∈ [0; 4], тогда x2=a=8-2/3=22/3 ∉ [0; 4] - 1 корень на [0; 4].
3) x2=x3=a=8-a, тогда x2=a=4 ∈ [0; 4] и x1=2/3 ∈ [0;4] - 2 корня на [0; 4].
Ответ: a ∈ (1/3; 2/3] U [22/3; 23/3)